應(yīng)該說,，微分和積分為什么互為逆運(yùn)算,，而且為什么通過反求導(dǎo)就能求出區(qū)域面積，這大概是在學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候,，很多人最難理解的一個點(diǎn),。

　　甚至曾經(jīng)在很早之前,，大家都把微分和積分看作是兩個互不關(guān)聯(lián),，毫不相關(guān)的東西去看待,，直到后面出現(xiàn)了牛頓和萊布尼茨。

　　考慮到證明的過程是很難直觀去理解的,，所以李縱才舉了這么一個或許并不太嚴(yán)謹(jǐn)，但卻意外好懂的例子,，把求積分的圖,，當(dāng)成是瞬間速度變化的圖。

　　然后求從a到b時(shí)間之內(nèi),，到底走過了多少路程,，這是不是就是反求導(dǎo)之后，用大寫的F代表原函數(shù),，黃色區(qū)域的面積就等于F(b)-F(a),。

　　這正是計(jì)算積分十分重要的一個公式，將連續(xù)的需要求和的一條條鉛垂線的過程，轉(zhuǎn)變成了只需要代入邊界的值,，一減就能求出面積,。

　　見兩人還在猶豫，李縱也是把路程等于速度乘以時(shí)間,，面積等于底邊乘以高,，兩者都是乘法的這么一個過程寫了出來，道：“其實(shí)我們不必糾結(jié)于為什么路程可以看成是面積,?！?p>　　“我們只需要知道他們都同樣是乘法運(yùn)算，而且,，都是函數(shù)關(guān)于一滴滴的單位之內(nèi),，會得到某個值就行了?！?p>　　“而且,，如果反過來理解，求積分的這個圖,，用微分去表述,，就可以是，在一滴滴的時(shí)間之內(nèi),，面積的變化率,。”

　　見兩人還在沉思,，李縱便繼續(xù)道：“那么,，假設(shè)這種想法是對的，我們已經(jīng)得知,，這兩種運(yùn)算存在著一種互逆的關(guān)系,，那么，我們可以怎么使用這種關(guān)系,？”

　　“是不是就可以求積分了,，積分原本是要把很多很多的鉛垂線的面積加起來，正常來說,，我們?nèi)耸寝k不到的,，但是如果能把它轉(zhuǎn)換為微分時(shí)的原函數(shù)，積分是不是就可以計(jì)算了,?！?p>　　“直接代入兩個邊界的點(diǎn)，一減,，答案不就出來了,。b點(diǎn)的里程,，比如說15里，減去a點(diǎn)的里程,，比如說10里,，一減，中間的5里,，就是我們走過的路程,。”

　　“那么問題來了,！這個積分的函數(shù),，跟它微分時(shí)的原函數(shù)，到底存在著一種什么樣的關(guān)系,?！?p>　　“或者說，我現(xiàn)在已經(jīng)知道了積分的函數(shù)了,，就是等于y=2x,，那么，微分時(shí)的原函數(shù),，是什么,？所以是不是就是一次從微分的結(jié)果，反推微分的開頭的這么一個過程,?！?p>　　“那接下來我們便嘗試著拿一個例子，來求一次微分,?！?p>　　“比如說原函數(shù)y=x2，根據(jù)剛剛微分的定義,，是不是就可以有以下這個式子：”

　　圖,。

　　“此式子怎么理解，剛剛我們是用t-a的方式,，但這樣顯然是算不出來的,，所以我們把t換成x+Δx，代表t比a多了那么一滴滴增量,，但是這個增量又是無限小,，我們定義無限小不等于0，但是它無限趨近于0,。”

　　“接下來便可以對式子進(jìn)行運(yùn)算,?！?p>　　圖,。

　　“正如同前面我們說讓t就是等于a，那么很短很短的時(shí)間,，也就沒有爭議,。這個的Δx，我們把他視為是沒有增量,，那么這條式子最后,，微分出來，等于2x也就沒有爭議了,?！?p>　　“當(dāng)然，前提是,，我們定義了無限小,，是趨向于0?！?p>　　“這正好就是微分的結(jié)果跟原函數(shù),。”

　　“接下來,，我們可以代入一些數(shù)字來測試一下,。”

　　“首先明確,，y=x2是路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),，y=2x是路程變化率，也就是速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù),?！?p>　　“現(xiàn)在我要求y=2x在某一段時(shí)間內(nèi)走過的路程，即這個函數(shù)在給定邊界范圍的面積,?！?p>　　“就可以變成求出原函數(shù)，然后代入邊界,，最后y=12=1,。”

　　“而反應(yīng)在y=2x的這個與x,、y邊界所圍成的面積,，是不是也是，按照三角形的面積公式,，底是1,，高是2，1×2÷2=1,，也等于1,?！?p>　　“再代入別的數(shù)字，x=2,，原函數(shù)答案是4,，y=2x圍成的面積是，2×4÷2=4,，也等于4,。”

　　“下面的以此類推,，答案完全一樣,。”

　　“甚至就是算梯形的面積,，其實(shí)也是一樣的,。”

　　李縱用一個很巧合的例子,，來說明在給定邊界后,，的確可以通過原函數(shù)的式子來算出圖形的面積。并且計(jì)算出來的面積是完全吻合的,，這恰恰印證了前面李縱的假設(shè),。

　　雖說這只是個例，但是,，此法足以讓兩人耳目一新,。

　　三角形的面積原來還能這么算，這誰能想到,！

　　然后李縱便道：“其實(shí)還有更為嚴(yán)格的證明過程,，只是便于你們好理解，我也就拿這個作為例子,?！?p>　　“假設(shè)這就是對的！”

　　“那么,，以前我們是不是寫了一條關(guān)于圓的方程的式子,，是不是也有xy，而且當(dāng)時(shí)我們還算出了邊界,，如果我沒有記錯的話,，是b點(diǎn)的坐標(biāo)是四分之一?！?p>　　“要是我們也能知道那條圓的方程的式子的原函數(shù),，是不是就能夠通過直接代入四分之一，當(dāng)然,，起點(diǎn)是0,，所以不用算,，去算那個小區(qū)域S(ABD)的面積?！?p>　　兩人聽完，簡直覺得李縱就是鬼才,！

　　這都能讓李縱想到,！

　　但是……

　　接下來，等李縱把圓的方程式子寫下來后,，這個要怎么求原函數(shù),，卻是把所有人都難倒了。

　　“這個式子,，要怎么求原函數(shù),。”

　　“方才,，我們是瞎貓碰上死耗子,，正好通過微分，算出來是2x,，那么接下來什么原函數(shù)的微分等于（x-x2）,，再開根號?！?p>　　張公綽兩人立刻都傻眼了,。

　　甚至，看完了這條式子,，前面什么微分,、積分好像都忘了，這就是所謂的,，你看完,，你覺得你自己懂了，其實(shí),，你什么都不懂,。（圖）

　　“這的確是一條相當(dāng)復(fù)雜的式子，而且微分的過程雖說我們從頭到尾都是知道的,，但是我們卻又不可能從后面往前推,。”

　　“尤其還是這種又有減法,，甚至還有開平方的式子,。”

　　“這怎么辦,？”

　　“我們化簡一下,?！?p>　　“這就是結(jié)果?！?p>　　“然后我們先不管前面的x的二分之一方,，我們就看后面的這個，（1-x）的二分之一方,，是不是就跟我們之前提到的,，那個f(m)的公式長得很像?！?p>　　“那我們是不是就可以把這個式子,，按照f(m)的式子來展開?！?p>　　“最后得到,。”

　　“我們再對這個式子求原函數(shù),?！?